Weights and balances

02 Jan 2021 -

这是一篇迟来的日记

午饭前，我爸受不了我平时各种科普，给我出了道“智力题”

“儿子，12个砝码，有一个比其他的重，怎么才能用托盘天平最快找出它？”

算法性的思维使我回答“分成两份，6个6个比，哪个重那个砝码就在哪里，然后3个3个比，最后互相比2次，需要四次”

“错了哦，我估计这题你可能要想一个午饭的时间（出去吃）”

我瞬间懂了：“哦哦哦，最后一次只要随便挑2个互相比就行了，因为只有3个砝码，所以如果这两个平衡则剩下那个是异常的，不然就是重的那个”

“没想到你这么快就想到了，来个进阶版，27个砝码最快找出重的那个”

我又脱口而出：“27个分成2份还剩一个， 13个和13个比，然后6个和6个比，然后3个3个比，然后1个1个比”

“仔细想想，只要3步哦，这个问题绝对够你想一天，吃饭的时候你就想这题”

我的脑子开始动了起来：27=3^3，哦原来如此

“就这？27平分成三份，其中2份互相比，如果平衡就在剩下九个，不然就在重的那九个，然后9个再分成3份，然后一份一份比，然后剩下来3个同样，只需要称3次”

“你居然这么快就想到了，没事，这个问题还有进阶版，12个砝码中有一个不同，你不知道它更重还是更轻，用3次找到它”

我觉得太不可思议了，我就从3个砝码开始想，三个砝码，一个不同，假设这些砝码被编号，则1和2比，然后2和3比，1=2则3不同，2=3则1不同。

回到原来的12个砝码，我认为先1+2+3与4+5+6比，如果一样则不一样的在7到12里，不一样的话则在1到6里，然后这6个假设是1到6，则1+2与2+3比，如果一样的话显然可以，不然的话4个得一步找出。

“给你个提示吧，第一步是4个4个比，不过第一步其实是最简单的”

我的脑筋又转起来了，如果第一步4个4个比，那么……我觉得我可能应该先给每种可能命名一下

我们把砝码称为粒子吧，然后下面是状态表

异常态很明显不会出现，因为那样说明这个球不可以比较，然后回归正题。

到饭厅了，身边没纸笔，很难受。

1234和5678比，设平衡，则异常的在9到12，然后9和10比，如果平衡则11和12是叠加态，别的都是基准，然后一个基准和11比（对称性），则如果平衡则12异常态，反之11异常，如果不平衡则重的那个和一个基准比，如果平衡则轻的是轻态，不平衡则重的是重态

只剩下1234和5678比，1234重的情况了（对称性），

此时1234是或重态，5678是或轻态，9到12是基准态

可是2步得从8个中找出异常态的球，有点难

要利用每一步，让信息最大化

我突然灵光一现，不如3个3个比，1+2+5和3+4+6比。

如果平衡，则问题出在7或8，然后9和7比，平衡则问题出在8，不然就出在7.

如果不平衡，我们假设1+2+5重（对称性），那么现在1、2是或重，6是或轻，此时只需要1和2比，如果平衡便是6是轻态，反之则1、2中更重的是重态

真是一个有趣的问题，但是我也没想一天

这里给一下我爸以前写的一个“读心天平”，和这个玩法一样（你如果选择有27个求并且一直选择左重右轻会无解，而且一直选择平衡则它不会给出是重态还是轻态）

https://leen.ipub.io/balance-bot