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  论cf，没错，这个cf并不是游戏，也不是codeforces，而是continue fraction，其实这个连分数没什么用（划），其实这个连分数能解2次方程，这要从一次作业讲起。

  记得有一次老师布置了一个作业，有一道题是这样的：“有一个等边三角形，3条边都是6cm，高是5.2cm，求……”。

  然后我发现，3条边都是6cm，说明p=9cm（海伦公式），因此三角形面积是93^3的平方根，也就是9根号3，然后可算出高为根号27，而5.2的平方=26/5的平方=26的平方/25=25^2+50+1/25=23100+25+50+1/25=676/25=27+(1/25).所以我找到了数学老师说老师这里不应该说高是5.2cm，应该说约是！然后老师说这个没啥嘛，为了方便你们懂。可是我还是很疑惑，不过这次我讲的不是海伦公式，不是三角形，是如何开方。

  丢番图逼近

  没错这才是主题

  一个数如何开方，第一个想到的可能是暴力，其实还有一种我叫做牛顿法的玩意，例如对654开方，先看654/2=327,它的平方比654大太多，因此选择327和1的平均数124进行平方，很明显还是太大，那么选择62进行平方，很明显还是太大，然后选择31进行平方，很明显还是太大，然后选择16进行平方，很明显太小，然后选择31和16的平均数（取整）24,24的平方稍微小了点，取27，大了点，取25到26，然后发现654的平方根大约是25.5，不需要太多的计算，那么，怎么才能快速知道小数后的精确值呢？

  我们请出连分数：,这时候，

  此时我们可以愉快地求654的连分数啦。

• Weights and balances

  这是一篇迟来的日记

  午饭前，我爸受不了我平时各种科普，给我出了道“智力题”

  “儿子，12个砝码，有一个比其他的重，怎么才能用托盘天平最快找出它？”

  算法性的思维使我回答“分成两份，6个6个比，哪个重那个砝码就在哪里，然后3个3个比，最后互相比2次，需要四次”

  “错了哦，我估计这题你可能要想一个午饭的时间（出去吃）”

  我瞬间懂了：“哦哦哦，最后一次只要随便挑2个互相比就行了，因为只有3个砝码，所以如果这两个平衡则剩下那个是异常的，不然就是重的那个”

  “没想到你这么快就想到了，来个进阶版，27个砝码最快找出重的那个”

  我又脱口而出：“27个分成2份还剩一个， 13个和13个比，然后6个和6个比，然后3个3个比，然后1个1个比”

  “仔细想想，只要3步哦，这个问题绝对够你想一天，吃饭的时候你就想这题”

  我的脑子开始动了起来：27=3^3，哦原来如此

  “就这？27平分成三份，其中2份互相比，如果平衡就在剩下九个，不然就在重的那九个，然后9个再分成3份，然后一份一份比，然后剩下来3个同样，只需要称3次”

  “你居然这么快就想到了，没事，这个问题还有进阶版，12个砝码中有一个不同，你不知道它更重还是更轻，用3次找到它”

  我觉得太不可思议了，我就从3个砝码开始想，三个砝码，一个不同，假设这些砝码被编号，则1和2比，然后2和3比，1=2则3不同，2=3则1不同。

  回到原来的12个砝码，我认为先1+2+3与4+5+6比，如果一样则不一样的在7到12里，不一样的话则在1到6里，然后这6个假设是1到6，则1+2与2+3比，如果一样的话显然可以，不然的话4个得一步找出。

  “给你个提示吧，第一步是4个4个比，不过第一步其实是最简单的”

  我的脑筋又转起来了，如果第一步4个4个比，那么……我觉得我可能应该先给每种可能命名一下

  我们把砝码称为粒子吧，然后下面是状态表

  是否可能重	是否可能轻	是否可能基准	名称
  不可能更重	不可能更轻	不可能基准	矛盾态
  可能更重	不可能更轻	不可能基准	重态
  不可能更重	可能更轻	不可能基准	轻态
  可能更重	可能更轻	不可能基准	异常态
  不可能更重	不可能更轻	可能基准	基准态
  可能更重	不可能更轻	可能基准	或重态
  不可能更重	可能更轻	可能基准	或轻态
  可能更重	可能更轻	可能基准	叠加态

  异常态很明显不会出现，因为那样说明这个球不可以比较，然后回归正题。

  到饭厅了，身边没纸笔，很难受。

  1234和5678比，设平衡，则异常的在9到12，然后9和10比，如果平衡则11和12是叠加态，别的都是基准，然后一个基准和11比（对称性），则如果平衡则12异常态，反之11异常，如果不平衡则重的那个和一个基准比，如果平衡则轻的是轻态，不平衡则重的是重态

  只剩下1234和5678比，1234重的情况了（对称性），

  此时1234是或重态，5678是或轻态，9到12是基准态

  可是2步得从8个中找出异常态的球，有点难

  要利用每一步，让信息最大化

  我突然灵光一现，不如3个3个比，1+2+5和3+4+6比。

  如果平衡，则问题出在7或8，然后9和7比，平衡则问题出在8，不然就出在7.

  如果不平衡，我们假设1+2+5重（对称性），那么现在1、2是或重，6是或轻，此时只需要1和2比，如果平衡便是6是轻态，反之则1、2中更重的是重态

  真是一个有趣的问题，但是我也没想一天

  这里给一下我爸以前写的一个“读心天平”，和这个玩法一样（你如果选择有27个求并且一直选择左重右轻会无解，而且一直选择平衡则它不会给出是重态还是轻态）

  https://leen.ipub.io/balance-bot

• New year lesson

  今天续上昨天的话题，不过这个就换个话题了

  现在这个是关于阶乘后的0的话题的，不过今天我们讨论的是一般性的问题

  很明显，我们把一个数q，写成时,原式=

  

  然后直接暴力就行，记得我暑假时参加了一场力扣周赛，只做了第一题，但是我看了一下记录我第一题居然是全球第一个做出来的，虽然我第二题连看都没看就不做了

  第一题是酒瓶问题：一个人买了n瓶酒，已知k瓶酒能再换1瓶酒，求这个人能喝几瓶酒。

  最终答案是一个公式的事，n+[(n-1)/(k-1)],然后我在这里给出证明

• The second order equation

  

• New year lesson

  这节课其实没想好讲啥，先来回答一下一个问题：证明任选一个实数，选到无理数的概率是100%

  说实话这个我一眼看上去就是常识（之前科普性的讲过），然后咱们随便写点除了“过程显然QED”以外的内容。

  

  还有一些内容略去：

  

  水不下去了我换个话题

• Probability

  如果有两个按钮，一个按钮按下会直接给你10000元人民币，另一个按下有1%几率获得10^6元人民币，你选哪个（只能选一个或不选）？

  如果是我我就选第一个按钮，毕竟两个按钮的期望收益都是10000元，但是第一个不管咋滴都是10000元，所以我选第一个。

  期望收益就是所有可能收益的平均值，第一个咋地都是10000，第二个有99种情况你获得0元，有1中情况获得1000000元，取平均得10000元。

  第二个问题：你每一次都有1/2的概率赢得你手上的钱的三倍，反之就一丁点钱都没了，问你最好玩几局（第一局手里只有1块钱）

  很明显我多玩比少玩好，第一局我期望收益是3/2,然后是9/4,27/8,81/16,273/32……最终期望收益会趋向于无穷大(你想多了当你玩无穷局的时候你的收益就是0)

  1.条件概率

  有俩门，门后面要么就是羊要么就是其他玩意儿（可能性都是50%），问都是羊的概率是？

  就是1/4啦，然后我告诉你至少有一个羊，问都是羊的概率是？

  你是不是想说1/2?恭喜你，答……错了。

• Infinity

  你知道无穷大是什么吗？是最大的数吗？不是，他是一个无穷尽的过程中的过程的基数，例如自然数这个集合的基数，我们叫他aleph-null：

  首先aleph-null*2=aleph-null:

  只要两个集合能建立一一对应关系，我们就说他们一样大

  aleph-null^2=aleph-null:

  新概念：幂集

• Infinite sum

  1.不正常

  问： 是几？

  哈哈就是1

• Meta

  没用的meta

  0:为什么选择我？我只是个普通人。 这需要您自己找出答案。

  1.1+1=2

  你说什么？1+1=2？好吧，你要知道这句话什么意思，你首先得知道1,2，+和=的意思，你肯定知道皮亚诺公理吧，1=0’,2=(0’)’,1+1=(0’)’=2,是吧？

  怎么可能啊？别傻了，你不知道皮亚诺公理里的全程量化符号是什么，你也不知道什么是属于，什么是集合N（自然数），你也不知道什么是等于，什么是0，什么是后继，什么是123456789.

  问题来了，你怎么从0开始学习？学习是什么？

  如果一个人他从小就不以正常人的视角看待世界，会不会他看到的一切是错误的？或者说他看到的都是对的，但是脑海中理解这一切的方式错了？会不会我们的宇宙不是三维而是二维或四维？抑或是1.5维？1+1是不是不等于2？

  我可能只是一个先天失明的人，一切都是我脑海中想像的？

  如果是这样，事情可能比我想象的更复杂，也许我手敲键盘时发出的声音只是我的想象……

  你从出生下来就如此看待世界，思维早就产生了惯性，例如我让你不用中文或你学过的语言思考，你可能什么也想象不出来，即使我只改变一下你使用的符号，你做任何事也都会寸步难行。

  这一切的一切是否都是一个母规则的产物？产生出了无数个无限大的世界，而每个无限大的世界种中一定会有一些地方有着不可思议的事情发生

  也许是子规则递归？

  记得生命游戏里的元元胞吗？这说明了什么？

  说不定我们这个世界，只不过是宏宇宙中一个夸克，而每一个夸克又是一个子宇宙？

  而那些子宇宙的规则可能无比简单？

  不不不，这个世界的规则其实可能和我们观察到的完全不一样，记得元元胞的规则控制器吗？能在B3/S23规则下产生其他规则。

  那是不是说明，可能一切都是由一个母规则衍生出的？

  不对，你能证明一切之外没有东西吗？不能，但你能证明这玩意不能证明，说不定就有一个“拉普拉斯妖”预测着，亦或是掌控着宇宙？

  1.2.实数之轴 实数轴有什么用吗？

  有的。如果把一个实数，转换成二进制或其他方法读取其中的信息，你很可能能得到无数种包含无限多bit的信息，会不会我们某一天找到一个数刚好是我们的宇宙？

  是可能的。

  但我们永远无法预测未来。

  这一切是一个二级混沌系统，因为其包含你自身，你如果预测未来，你首先得存下你存下的信息，很明显这是不可能的，这是一个没有回头路的单程递归，你得存下你自己存下的你自己存下的你自己存下的……即使你穷尽了整个宇宙的资源，这也不可能，除非你找得到了能存无限信息的内存？

  好吧首先得确定你是什么等级的无限，如果是aleph-null bit，则你能存下一个实数，啊不，是aleph-null个实数，等一下，哦是aleph-null的aleph-null-1次方个实数，真可惜还差一个aleph-null bit就到aleph-one bit了，啊不是是aleph-null个aleph-null相乘个aleph-null bit就到aleph-one了。

  如果你能存下aleph-one bit信息，恭喜你，你能存下自然数的全排列，也能存下整个宇宙并预测他了。

  但还远远没达到我们的极限，如果aleph-two 呢？那就是所有实数的全排列？如果aleph-three呢？那就是所有几何曲线的全排列？并没有到我想要的结果啊。。。

  葛立恒数底数从3换成aleph-null怎么样？让我看看多少了？

  哦真不错。

  最底下一层g1变成了aleph-aleph-aleph-……此处省略aleph-aleph-……此处省略aleph-aleph-……此处省略aleph个aleph…………此处省略aleph-aleph-……个省略省略省略—…………此处省略aleph-null个省略省略省略省略个省略个aleph个aleph

  你有了他你基本无忧了，可是不也只是一个能用aleph表示的玩意儿吗？

  如果你有了不可达基数个呢？不，不可达基数不是最大的，我还能造出比它更大的—……

  好吧，我想，也许把所有无穷大放到一个集合里，这个集合的基数就是最大的无穷大了吧……

  1.3. 0

  0是什么？为什么哪里都有他的身影？复数整数有理数实数四元数三元数现实……0是什么？

  我们能抛弃0吗，会不会有一个宇宙里没有比1小的数？

  呵呵，证明这个问题不如去证明现实中有个东西是用0.5做计量单位的（划）

  我们的世界里不管哪里，有1就有0，他们是一对孪生的双胞胎。道生一一生二二生三三生万物，这个道是什么？是0吗？

  不是。

  他是一个规则。

  有了他我们就有了一切。

  但这一切都是那么让人捉摸不透。

  一 个 理发师只给不给自己理发的人理发。

  这 个 奇 怪 的 理 发 师 ， 他会给自己理发吗？

  如果这个问题你只能回答是或否且不能撒谎，你会回答否吗？

  如果撒谎的人会被砍头，而一个人说了句我会被砍头，他会被砍头吗？

  改变了逻辑，改变了最 根 本的东西，世界会变得完全不同吗，1+1真的=2吗？

• Differential

  4.求导(2)

  这里说一下，如果函数在x点 则 而且如果函数在x点： 则

  好了，现在问f(x)=x^a的导函数？（a是常数） 没错就是：

  现在问f(x)=a^x的导函数？（a是常数） 没错就是：

  f(x)=x^x的导函数：

  作业题：x^x^x的导函数

  5.积分 作业题就是这样：没检查不知道错没错哈哈 反正这些都一个套路

  积分分为定积分和不定积分和曲线积分，定积分简而言之就是

  .

  f(x)的导函数就是f(x)

  好了微积分就这么点。

  6.高阶导数

  高阶导数也没啥讲的，(f^(n))(x)就是f(x)的n阶导数。

  7.洛必达

  

  8.泰勒展开

  

  上面是泰勒展开在复变里的一个应用，最下面一个是泰勒展开定义，感叹号是阶乘，t是泰勒展开 t的参数是一个函数和将其泰勒展开的地点，结果是一个函数ted(x)，ted(x)不一定=f(x)，很可能ted(x)=NaN，这时候我们说ted(x)=f(x)的x集为f(x)泰勒展开的收敛域。

  微积分就大概这么多吧，剩下的自己发掘吧。

• Calculus

  你学过微积分吗？让我们一起走近微积分吧。

  1.极限

  设x=0，求1/x?

  很明显这道题的答案就是未定义，因为双曲函数的奇点便是0.但在0点周围，1/x却非常大，0点的左边趋向于-∞，右边趋向于+∞，而-∞和+∞统称为∞.因此我们说

  这里你可以看成x=0但1/x有意义，因为x不是真正的0.我们还说从右边逼近某数是这样的：

  从左边逼近某数是这样的：

• Hello

  Hello world.

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